Динамічні розрахунки виринають в житті інженера значно рідше, ніж статичні. Та невже динаміка конструкцій є настільки рідкісним явищем, що ми приділяємо їй увагу лише в окремих випадках?

Коливання — невід'ємна частина життєвого циклу конструкцій

Кажуть, що якщо ви не цікавитесь політикою, вона все рівно цікавиться вами.

З динамікою так само: якщо в процесі проєктування ми не робимо динамічні розрахунки, то це не означає, що цих процесів не існує. Вони завжди поруч, хоча часто й непомітні.

Динаміка є невід'ємною частиною нашого життя. Все перебуває в постійному русі — вібрує, коливається, хитається. Щоправда, коли амплітуда коливань об'єкту дуже мала, цими ефектами нехтують і розглядають його у статиці. Та мусимо пам'ятати, що в загальному випадку статика є технічною абстракцією, а реальний світ є принципово динамічним, а не статичним.

Що таке коливання?

Під час коливань система змінює свої характеристики за певним повторюваним законом. Одним з найпростіших прикладів такого процесу є гармонічні коливання, під час яких конструкція деформується за законом синуса або косинуса. Окрім переміщень (вертикальних прогинів), в конструкції що вібрує також коливаються внутрішні зусилля, моменти та інші параметри напружено-деформованого стану.

Дослідити динамічну роботу конструкції можна, застосувавши до неї модальний аналіз.

Модальний аналіз

Модальний аналіз — один з поширених методів динамічного розрахунку, який має на меті визначення періодів і частот коливань. Але навіщо нам знати частоту власних коливань будівельної конструкції?

Частота є однією з найважливіших динамічних характеристик споруди. Для системи, що деформується, частота пов'язує розміри, масу і жорсткість. Саме такими системами є практично всі будівельні об'єкти. Але це важливо не тільки для розуміння характеру динаміки (тобто як саме конструкція вібруватиме), а й для порівняння цієї частоти з частотою зовнішнього навантаження. Так від поняття вільних коливань ми прямуємо до вимушених коливань, а далі — до явища резонансу і потенційної загрози для конструкції.

Норми проєктування явно обмежують динамічні характеристики деяких типів споруд. Це актуально, наприклад, для пішохідних мостів. Та сьогодні ми не станемо вдаватися в ці деталі, а розглянемо, як визначити частоту власних коливань класичної однопрогонової балки.

Форма коливань балки

Кожна конструкція вібрує по-своєму.

Як окрема гітарна струна по-різному звучить в залежності від довжини, товщини, сили натягу, так само й кожен елемент будівельної конструкції має низку варіантів "звучання". Такі можливі варіанти називають формами.

Форма коливань є кривою, яка характеризує деформування конкретної конструкції за певних визначених умов. Якщо ми говоримо про гармонічні коливання, то форма подібна хвилі, яка "біжить" балкою і змушує всі її точки переміщуватись за певним законом.

Скільки форм і частот коливань існує?

Будь-яка реальна механічна система має незліченність форм коливань. Кожній такій формі відповідає якась окрема частота. Традиційно, формам присвоюють номер від 1 до нескінченності.

Всі ці можливі форми утворюють так званий частотний спектр. В загальному випадку, цей спектр необмежений і безперервний, але практичний інтерес зазвичай представляє лише його початкова частина. Як правило, кілька перших форм.

Наприклад, перша форма коливань шарнірно обпертої балки — це звичайні вертикальні переміщення. Тільки тепер це не просто прогини, до яких ми звикли в статиці, а коливання вниз й догори відносно вісі балки, відповідно до амплітудних значень:

Друга форма має перелом посередині балки, тому охоплює прогини лише до і після цієї точки:

Нарешті, третя форма має три чіткі пагорби:

І так далі. Логічно, що саме перша форма коливань характеризує найбільші прогини балки, адже ані друга, ані третя, ані будь-яка інша вища форма не здатні згенерувати більших деформацій (оскільки довжина хвиль зменшується). Саме тому інженери, що виконують динамічні розрахунки, "полюють" перш за все на першу форму коливань.

А як щодо стиснутої та розтягнутої зони?

Ви ймовірно помітили, що під час коливань балка змінює стиснуту та розтягнуту зони. Це явище не характерне для статичного аналізу, де напрям навантаження однозначно визначає розподіл стиснутих та розтягнутих волокон. В динаміці ці зони багаторазово чергуються!

Подібне явище не є критичним для однорідних матеріалів, як-от сталь. Проте, це може стати суттєвою проблемою для залізобетонних конструкцій; зважайте на це, якщо маєте з ними справу і потурбуйтеся про достатнє армування обох зон перерізу.

Динамічні характеристики балки

Кутова частота коливань

Формула для визначення кутової частоти вільних коливань простої балки має наступний вигляд:

\( \omega_i = i^2 \pi^2 \sqrt{\dfrac{E \cdot I}{m \cdot L^4}} \), (1)

де

• \( i \) — номер форми коливань;
• \( \pi = 3.14 \);
• \( E \) — модуль пружності балки, Па;
• \( I \) — момент інерції поперечного перерізу, м⁴;
• \( m \) — погонна маса балки (маса, рівномірно розподілена за довжиною), кг/м;
• \( L \) — довжина балки, м.

Лінійна частота коливань

Лінійну частоту власних коливань балки можна отримати на основі кутової частоти (1):

\( f_i = \dfrac{ \omega_i }{ 2 \pi } \). (2)

Період коливань

Період коливань є характеристикою, зворотною до лінійної частоти. Це час одного повного коливання балки:

\( T_i = \dfrac{ 1 }{ f_i } \). (3)

Цифрове рішення для визначення частот коливань балки від Dystlab

Хоча наведені формули (1)-(3) не є складними, для інженера-практика завжди краще мати під рукою швидке і перевірене рішення. З цією метою Dystlab розробили окремий застосунок для визначення частоти власних коливань однопрогонової балки.

Особливістю цього калькулятора, як і інших цифрових рішень від Dystlab, є підтримка довільних одиниць вимірювання. Динамічні розрахунки особливо чутливі до цих нюансів, тому весь контроль за перетворенням фізичних величин TechEditor бере на себе. Вам достатньо вказати номер потрібної форми коливань, довжину і фізико-механічні властивості балки. Також є можливість змінити повну масу балки на розподілену (зручно для роботи з сортаментним прокатом):

Дане цифрове рішення доступне для завантаження в онлайн-хабі для інженерів Dystlab Store. Якщо ви зацікавлені в схожих або інших технологічних рішеннях — повідомте нам про це. Ми залюбки розробимо для вас потрібні калькулятори, допоможемо автоматизувати розрахунки і прискоримо роботу вашої компанії.

Успіхів!

Віталій Артьомов

"Працюю, щоб зробити «Made in Ukraine» світовим знаком якості та стилю"

Керівник, співзасновник Dystlab, розробник TechEditor. Інженер, науковець, к.т.н. з понад 20-річним досвідом в аналізі конструкцій та автоматизації інженерних розрахунків. Консультую проєктні компанії в Україні, Європі, Канаді, США.

Обговорити рішення для бізнесу: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. | +380504576819 (WhatsApp)