Динамічні розрахунки виринають в житті інженера значно рідше, ніж статичні. Та невже динаміка конструкцій є настільки рідкісним явищем, що ми приділяємо їй увагу лише в окремих випадках?

Привіт, ви на каналі для інженерів Dystlab! З вами я, Віталій.

Коливання — невід'ємна частина життєвого циклу будівельних конструкцій

Кажуть, що якщо ви не цікавитесь політикою, це не означає, що політика не цікавиться вами. З динамікою все так само: якщо в процесі проектування ми не робимо динамічні розрахунки, не означає, що цих процесів не відбувається зовсім. Навіть навпаки.

В дійсності, динаміка є невід'ємною частиною нашого життя. Все перебуває в постійному русі — вібрує, коливається, хитається. Ба-більше: цілком справедливо зазначити, що статики як такої взагалі не існує; це технічна абстракція, завдяки якій інженери, в певному сенсі, спростили собі життя.

То ж реальний світ є принципово динамічним, а не статичним.

Що таке коливання?

Під час коливань система змінює свої характеристики за певним повторюваним законом. Одним з найпростіших прикладів такого процесу є гармонічні коливання, під час яких конструкція деформується за законом синуса або косинуса. Окрім переміщень (вертикальних прогинів), в конструкції що вібрує також коливаються внутрішні зусилля, моменти та інші параметри напружено-деформованого стану.

Дослідити динамічну роботу конструкції можна, застосувавши до неї модальний аналіз.

Модальний аналіз

Модальний аналіз — один з методів динамічного розрахунку, який має на меті визначення періодів і частот коливань. Але навіщо нам знати частоту власних коливань будівельної конструкції?

Частота є однією з найважливіших динамічних характеристик споруди. Для системи, що деформується, частота пов'язує розміри, масу і жорсткість. Саме такими системами є практично всі будівельні об'єкти. Але це важливо не тільки для розуміння характеру динаміки (тобто як саме конструкція вібруватиме), а й для порівняння цієї частоти з частотою зовнішнього навантаження. Так від поняття вільних коливань ми прямуємо до вимушених коливань, а далі — до явища резонансу і потенційної загрози для конструкції.

Норми проектування явно обмежують динамічні характеристики деяких типів споруд. Це актуально, наприклад, для пішохідних мостів. Та сьогодні ми не станемо вдаватися в ці деталі, а розглянемо, як визначити частоту власних коливань класичної однопрогонової балки.

Форма коливань балки

Кожна конструкція вібрує по-своєму.

Як окрема гітарна струна по-різному звучить в залежності від довжини, товщини, сили натягу, так само й кожен елемент будівельної конструкції має низку варіантів "звучання". Такі можливі варіанти називають формами.

Форма коливань є кривою, яка характеризує деформування конкретної конструкції за певних визначених умов. Якщо ми говоримо про гармонічні коливання, то форма подібна хвилі, яка "біжить" балкою і змушує всі її точки переміщуватись за певним законом.

Скільки форм і частот коливань існує?

Будь-яка реальна механічна система має незліченність форм коливань. Кожній такій формі відповідає якась окрема частота. Традиційно, формам присвоюють номер від 1 до нескінченності.

Всі ці можливі форми утворюють так званий частотний спектр коливань системи. В загальному випадку, цей спектр необмежений і безперервний, але практичний інтерес зазвичай представляє лише його початкова частина. Як правило, кілька перших форм.

Наприклад, перша форма коливань шарнірно обпертої балки — це звичайні вертикальні переміщення. Тільки тепер це не просто прогини, як ми звикли в статиці, а коливання вниз й догори відносно вісі балки, відповідно до амплітудних значень. Логічно, що саме така, перша форма коливань, характеризує найбільші прогини балки:

Друга форма коливань має перелом посередині балки, тому охоплює прогини лише до і після цієї точки:

Нарешті, третя форма має три чіткі пагорби, і так далі:

Кутова частота коливань балки

Формула для визначення кутової частоти вільних коливань простої балки має наступний вигляд:

\( \omega_i = i^2 \pi^2 \sqrt{\dfrac{E \cdot I}{m \cdot L^4}} \), (1)

де

• \( i \) — номер форми коливань;
• \( \pi = 3.14 \);
• \( E \) — модуль пружності балки, Па;
• \( I \) — момент інерції поперечного перерізу, м⁴;
• \( m \) — погонна маса балки (маса, рівномірно розподілена за довжиною), кг/м;
• \( L \) — довжина балки, м.

Лінійна частота коливань балки

Лінійну частоту власних коливань балки можна отримати на основі кутової частоти (1):

\( f_i = \dfrac{ \omega_i }{ 2 \pi } \). (2)

Період коливань балки

Період коливань є характеристикою, зворотною до лінійної частоти. Це час одного повного коливання балки:

\( T_i = \dfrac{ 1 }{ f_i } \). (3)

Цифрове рішення для визначення частот коливань балки від Dystlab

Хоча наведені формули (1)-(3) не є складними, для інженера-практика завжди краще мати під рукою швидке і перевірене рішення. З цією метою Dystlab розробили окремий застосунок для визначення частоти власних коливань однопрогонової балки.

Особливістю цього калькулятора, як і інших цифрових рішень від Dystlab, є підтримка довільних одиниць вимірювання. Динамічні розрахунки особливо чутливі до цих нюансів, тому весь контроль за перетворенням фізичних величин TechEditor бере на себе. Вам достатньо вказати номер потрібної форми коливань, довжину і фізико-механічні властивості балки. Також є можливість обрати повну масу балки, або розподілену:

Дане цифрове рішення доступне для завантаження в онлайн-хабі для інженерів Dystlab Store. Якщо ви зацікавлені в схожих або інших технологічних рішеннях — повідомте нам про це. Ми залюбки розробимо для вас потрібні калькулятори, допоможемо автоматизувати розрахунки і прискоримо роботу вашої компанії.

Успіхів!

Віталій Артьомов

Керівник і співзасновник Dystlab, екс-доцент кафедри мостів ДНУЗТ, розробник TechEditor, к.т.н.

Спеціалізуюся на інженерних розрахунках, статичному і динамічному аналізі будівель і споруд, автоматизації обчислень, розробці проектної документації. Консультую дизайнерів, інженерів, архітекторів та проектні компанії України, Азії, Європи, Канади, США, Австралії, тощо. Знаюся на нормах проектування України (ДБН, ДСТУ), Європи (Eurocode), Канади (OBC, CSA).

Готовий проконсультувати і допомогти вам у роботі або бізнесі:

• +380504576819 (WhatsApp)
• Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.