Про лінії впливу ви могли чути, якщо стикалися з проектами мостів або, наприклад, підкранових балок. В інших ситуаціях цей спосіб застосовується значно рідше. А даремно, адже його переваги можуть значно прискорити розрахунки не тільки транспортних, але й цивільних, промислових та інших будівель і споруд.

Привіт! З вами я, Віталій, а ви на ресурсі для інженерів Dystlab.

Що таке лінія впливу?

Дійсно, методика розрахунку за лініями впливу не така поширена, як звичні нам епюри. Тому варто почати з визначення.

Лінія впливу є графіком, який відображає зміну зусилля в перерізі від положення рухомого навантаження. І епюра, і лінія впливу є графіками, проте у цих діаграм є ключова відмінність. Епюра демонструє розподіл зусиль у всіх перерізах конструкції, але від фіксованого (нерухомого) навантаження, а лінія впливу — навпаки: тільки в одному перерізі, але від різних положень вантажу.

Сподіваюся, ви вловили нюанс: епюра дозволяє нам проаналізувати статичну роботу елемента тільки в одному положенні навантаження. Тобто якщо ми хочемо проаналізувати поведінку конструкції в N різних позиціях вантажу, то нам слід виконати N окремих статичних розрахунків. І, в загальному випадку, проаналізувати N епюр.

Для лінії впливу такого обмеження немає. Достатньо побудувати цей графік один раз і далі можна завантажувати його будь-якою системою вантажів. Можна сказати, що лінія впливу інтегрує в собі оті N статичних розрахунків, тільки з усіх можливих перерізів ми фокусуємося на одному з них. Лінія впливу ніби "забирає" з усіх виконаних розрахунків по одному значенню в певній точці елемента.

Важливо розуміти, що і лінія впливу, і епюра дають однаково точні результати (звісно, в межах похибки моделювання). Різниця полягає в швидкості і зручності аналізу, а також цілях розрахунку.

Давайте розглянемо, як це виглядає на практиці.

Лінія впливу опорної реакції

Почнемо з лінії впливу опорної реакції у звичайній шарнірно обпертій балці довжиною \( L \).

На наступному рисунку показана лінія впливу зусилля в опорному перерізі A від положення одиничної сили \( F \):

Кожна ордината цього графіку є опорною реакцією балки в точці A. Це дуже важливо розуміти, адже якщо до цього ви активно працювали з епюрами, то цей графік може хибно сприйматися як розподіл зусиль по перерізах.

Отже, зараз ми зосереджуємо увагу тільки на перерізі A і дивимося, як змінюється опорна реакція в залежності від координати вантажу. Положення сили \( F \) визначається координатою \( x \). Коли сила знаходиться безпосередньо над опорою A, переріз приймає все навантаження на себе, тому опорна реакція (вона ж — поперечна сила) дорівнює одиниці.

По мірі збільшення величини \( x \) і віддалення \( F \) від опори, реакція пропорційно зменшуватиметься. Коли сила опиниться в центрі балки \( x=\frac{l}{2} \), конструкція перетвориться в класичну балку з силою посередині. Ми розуміємо, що в такому випадку обидві опорні реакції врівноважаться і дорівнюватимуть половині зовнішньої сили. Якщо б ми мали справу з епюрою, то ордината посередині дорівнювала б самій одиничній силі, тобто мала б значення 1 кН. Та оскільки ми працюємо з лінією впливу, то кожна ордината цього графіку вже є опорною реакцією. Отже, ордината в центрі балки має значення \( y=0.5 \):

Коли сила \( F=1 \) проїде всю довжину балки і опиниться над протилежною опорою B, все зусилля буде спрямоване до опори. Відповідно, зусилля в перерізі A дорівнюватиме нулю, про що і свідчить ордината під правою опорою B.

Сподіваюся, механіка цього процесу є зрозумілою. Якщо ні — напишіть в коментарях, що саме ви хотіли б з'ясувати.

Лінія впливу поперечної сили

Рухаємося далі. Побудуємо лінію впливу поперечної сили в довільному перерізі C тієї ж балки.

Оскільки тепер кожна ордината лінії впливу є, власне, поперечною силою, то ми можемо визначати її за звичайними правилами опору матеріалів — так само, як ми це робимо під час побудови епюр.

Отже, коли одиничне навантаження \( F \) знаходиться між опорою A і перерізом C, тобто \( x = 0..c \), поперечна сила в перерізі C обчислюється як різниця між опорною реакцією і цим навантаженням:

\( y = R_A - F = -\dfrac{x}{l} \). (1)

Коли сила переїжджає за межі перерізу, тобто \( x = c..l \), схема визначення ординат лишається аналогічною.

Якщо подивитися на епюру поперечних сил в якомусь фіксованому положенні, то ми побачимо, що переріз C потрапляє в зону реакції на опорі A:

\( y = R_A = \dfrac{l-x}{l} \). (2)

Тепер нам лишається скомбінувати обидві гілки лінії впливу в єдиний для всієї конструкції графік:

Таким чином, лінія впливу на ділянці від опори A до перерізу C змінюється у межах

\( y = 0 \;.. \; -\dfrac{c}{l} \), (3)

а на ділянці від перерізу C до опори B — в межах

\( y = +\dfrac{l-c}{l} \; .. \; 0 \). (4)

Зверніть увагу: в самому перерізі відбувається прогнозований стрибок зусилля на одиницю:

\( \dfrac{c}{l} +\dfrac{l-c}{l} = \dfrac{c + l - c}{l} = \dfrac{l}{l} = 1 \). (5)

Лінія впливу згинального моменту

Завершимо цей блок лінією впливу згинального моменту в довільному перерізі C:

Графік також має трикутну форму, а найбільша ордината (безпосередньо під перерізом) дорівнює

\( y = \dfrac{a \times b}{l} \), (6)

де \( a \), \( b \) — відстані між опорою A та перерізом, і перерізом та опорою B, відповідно.

Визначення зусиль за лініями впливу

Логічно, що побудова лінії впливу як такої не є самоціллю. Для подальших інженерних перевірок нам потрібні зусилля.

Щоб отримати зусилля за лінією впливу, лінію впливу потрібно завантажити: рівномірно розподілене навантаження помножити на площу ділянки, над якою воно знаходиться, а зосереджені сили помножити на відповідні ординати під ними.

Звісно, мова тут йде вже не про одиничні навантаження, а реальні. Особливу увагу слід звертати на знаки ординат, адже це безпосередньо впливає на збільшення чи зменшення зусилля:

\( N = \sum F_i \cdot y_i + \sum q_i \cdot \omega_i \). (7)

В загальному випадку, тимчасове навантаження може впливати на будь-яку точку конструкції (фактично, змінювати своє положення). Тому вам потрібно зрозуміти, в яку саме зону його відправити. Логічно, щоб це була ділянка з найбільшою площею (або з найбільшими ординатами).

Пошук найневигіднішого положення навантаження не завжди швидкий. Він може потребувати кілька ітерацій, особливо для ліній впливу зі складною формою.

Звертайте особливу увагу на двозначні лінії впливу. Якщо ви обчислюєте додатній момент чи поперечну силу, уважно продивіться ділянки зі знаком "мінус", і навпаки. Пам'ятайте, що сама наявність навантаження може грати як в "плюс", так і в "мінус". Якщо зменшення навантаження вам на руку, тобто за цих умов зусилля збільшується — зменшить його до мінімально можливих меж, або приберіть з розгляду зовсім.

Не всі навантаження можна просто викинути з розрахунку. Наприклад, залізничне навантаження не можна розривати, як-от автомобільне чи пішохідне (бо потяг не може містити пробілів). Тому на ділянках іншого знаку потрібно знизити його за моделлю порожніх вагонів. Про це окремо сказано в нормах проектування і ми обов'язково розглянемо це питання в наступних матеріалах.

Сама ж площа лінії впливу обчислюється за звичайними правилами геометрії, як-от площа трикутника, прямокутника, трапеції, тощо.

Поперечна сила на опорі

У випадку однопрогонової балки, лінія впливу опорної реакції не змінює знаку. Це означає, що найбільш небезпечним і вигідним для нас варіантом буде навантажити її по всій довжині:

Формула для визначення поперечної сили на опорі від вертикального рівномірно розподіленого навантаження \( \nu \) має вигляд:

\( Q_A = \nu \times \omega = \nu \times \frac{1}{2} \cdot l \cdot y = \dfrac{\nu \times l}{2} \). (8)

Приклад визначення опорної реакції для \( \nu = 5.5 \) кН/м і \( l = 9.2 \) м:

\( Q_A = \dfrac{\nu \times l}{2} = \dfrac{5.5 \times 9.2}{2} = 25.3 \) кН.

Згинальний момент посередині балки

Відомо, що найбільші згинальні моменти концентруються в центральній частині однопрогонової балки. Побудуємо лінію впливу у цьому перерізі:

Формула для визначення згинального моменту від вертикального рівномірно розподіленого навантаження \( \nu \) має вигляд:

\( M_C = \nu \times \omega = \nu \times \frac{1}{2} \cdot l \cdot y = \dfrac{\nu \times l^2}{8} \). (9)

Зверніть увагу, що рішення (8), (9) в точності співпадають з класичними формулами опору матеріалів. Так і має бути, адже і епюри, і лінії впливу є точними аналітичними методами будівельної механіки.

Приклад визначення згинального моменту для \( \nu = 18.2 \) кН/м і \( l = 16.5 \) м:

\( M_C = \dfrac{\nu \times l^2}{8} = \dfrac{18.2 \times 16.5^2}{8} = 75.1 \) кН м.

Часті питання

Лінія впливу — тільки для мостів?

Ні. Методика ефективна для розрахунку будь-якої конструкції, якщо навантаження на ній може змінювати своє положення та/або довжину (наприклад, тимчасове навантаження від людей, снігу, вітру та ін.).

Лінія впливу дає наближені результати?

Ні. Це точний метод будівельної механіки.

У яких одиницях вимірюється площа лінії впливу?

Площа лінії впливу поперечної сили вимірюється в [м], а площа лінії впливу моменту — в [м²].

Чому у всіх попередніх розрахунках ми оперували одиничною силою, а не дійсним, реальним навантаженням?

В загальному випадку ви можете будувати лінії впливу від будь-якої системи вантажів. Наприклад, тандему зосереджених сил, що моделюють тиск від колісної пари автомобіля. Але в такому випадку це буде просто графік зусилля в перерізі від конкретного навантаження.

Та зазвичай ми не володіємо інформацією про габарити навантаження — в загальному випадку, воно може мати будь-яку довжину (від нуля до нескінченності). Тому потрібно спочатку виявити зони, в які нам було б вигідно відправити це навантаження, і тільки після цього завантажувати лінію впливу і визначати зусилля. А це можливо тільки за наявності графіку від одиничної сили. Можна сказати, що лінія впливу від одиничної сили — найбільш універсальний графік, діаграма на всі випадки життя.

Далі буде!

Сподіваюся, ця інформація була для вас корисною. Пізніше ми розглянемо, як працювати з лініями впливу для конкретних типів конструкцій. Посилання на ці матеріали ви знайдете в кінці статті або в описі відео. До зустрічі!

Віталій Артьомов

Керівник і співзасновник Dystlab, екс-доцент кафедри мостів ДНУЗТ, розробник TechEditor, к.т.н.

Спеціалізуюся на інженерних розрахунках, статичному і динамічному аналізі будівель і споруд, автоматизації обчислень, розробці проектної документації. Консультую дизайнерів, інженерів, архітекторів та проектні компанії України, Азії, Європи, Канади, США, Австралії, тощо. Знаюся на нормах проектування України (ДБН, ДСТУ), Європи (Eurocode), Канади (OBC, CSA).

Готовий проконсультувати і допомогти вам у роботі або бізнесі:

• +380504576819 (WhatsApp)
• Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам необхідно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.