24/7

online

+38 095 812 2046
+38 068 356 3002

Articles about calculation, design, analysis

Calculation of reinforced concrete structures by inclined sections (rus.)

Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

Изгибающий момент — враг № 1 для большинства конструкций, пребывающих в состоянии изгиба. Однако беда не приходит одна, и вместе с моментом в изгибаемых элементах обычно возникает еще один грозный силовой фактор — поперечная сила.

При неправильном проектировании поперечная сила может стать причиной быстрого развития трещин и даже разрушения конструкции. Иногда складывается впечатление, что трещины — хаотичное, беспорядочное явление в железобетонных конструкциях, и появляются они где попало. Однако науке хорошо известны механизмы появления трещин от совместного воздействия изгибающих моментов и поперечных сил, поэтому предупреждение этих явлений уже давно перешло в разряд стандартных инженерных проверок по нормам проектирования.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 1. Трещины в железобетонной балке

Расчет ЖБК на действие поперечных сил относится к первой группе предельных состояний (проверка прочности) и обязателен для всех типов изгибаемых элементов (балок, плит).

Физика процесса

Давайте проанализируем, что происходит в железобетонной балке при совместном действии изгибающего момента и поперечной силы. На рисунке 2 показан тренд развития трещин:

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 2. Тренд развития наклонных трещин в ЖБ-балке

Обратите внимание: под действием нагрузки трещины устремляются от опоры к середине пролета, снизу вверх, поэтому их еще называют наклонными, а сам расчет — расчетом по наклонным сечениям.

Чтобы понять механику процесса, давайте рассмотрим картину напряжений. Проведем в какой-нибудь точке (вблизи опоры) нормальное сечение, убрав из рассмотрения правую часть конструкции и заменив ее соответствующими напряжениями (рисунок 3). Напомню, что напряжением мы называем усилие, распределенное по площади соприкасаемых поверхностей тела. В  данном случае, напряжения как бы “удерживают” две рассеченные части балки: верхняя зона балки испытывает сжатие, нижняя — растяжение. Соответственно, в верхней грани бетона появятся сжимающие напряжения (знак “–”), а в нижней — растягивающие (знак “+”):

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 3. Сжимающие и растягивающие напряжения в сечении железобетонной балки

Используя осевые напряжения \({\sigma _x}\) и \({\sigma _z}\), переходим к главным (максимальным) растягивающим \({\sigma _{mt}}\) и сжимающим \({\sigma _{mc}}\) напряжениям:

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 4. Главные напряжения в сечении железобетонной балки

Направление осей принято следующим: ось \(x\) совпадает с нейтральной осью балки, ось \(y\) — ось изгиба, ось \(z\) — вертикальная. Главные напряжения определяем через известную формулу сопротивления материалов:

\({\sigma _{mt\left( {mc} \right)}} = \frac{{{\sigma _x} + {\sigma _y}}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {{\sigma _x} + {\sigma _y}} \right)}^2}}}{4} + \tau _{xz}^2} \), (1)

где \({\tau _{xz}}\) — касательное напряжение.

Напряжением \({\sigma _z}\) в расчетах, как правило, пренебрегают (если, конечно, конструкция не нагружена поперечной нагрузкой, соизмеримой по величине с вертикальной). Тогда формула для определения главных напряжений примет вид:

\({\sigma _{mt\left( {mc} \right)}} = \frac{{{\sigma _x}_y}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{\sigma _x}^2}}{4} + \tau _{xz}^2} \). (2)

Формулы для определения нормального и касательного напряжений имеют вид:

\({\sigma _x} = \frac{M}{W} = \frac{{M \cdot z}}{{{J_y}}};\quad {\tau _{xz}} = \frac{{Q \cdot S}}{{{J_y} \cdot b}}\), (3)

где

  • \(Q\), \(M\) — поперечная сила [кН] и изгибающий момент [кНм], действующие в данном сечении, соответственно;
  • \({J_y}\) — главный центральный момент инерции, вычисленный относительно оси \(y\) поперечного сечения балки, м4;
  • \(z\) — расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяется напряжение \({\sigma _x}\) (по высоте сечения), м;
  • \(S\) — статический момент поперечного сечения, м3;
  • \(b\) — ширина поперечного сечения, м.

Формулы (3) можно использовать как базовые при расчете ЖБК с произвольной формой сечения. Обратите внимание, что геометрические характеристики определяются в данном случае только для бетонного сечения, без учета арматуры.

В качестве примера рассмотрим прямоугольное сечение, как наиболее часто встречающееся в балочных и плитных конструкциях.

Расчет балки прямоугольного сечения по наклонным сечениям

Для балки прямоугольного сечения на уровне нейтральной оси напряжение \({\sigma _x}\) равно нулю (см. рис. 3), поэтому главные напряжения будут полностью определяться напряжениями касательными:

\({\sigma _{mt}} =  - {\sigma _{mc}} = {\tau _{xz}} = \frac{{Q \cdot S}}{{{J_y} \cdot b}}\). (4)

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 5. Эпюра касательных напряжений в прямоугольном сечении балки

Решая уравнение (4) относительно поперечной силы и заменяя знак “=” неравенством, приходим к проверке прочности:

\(Q \le \frac{{{\tau _{xz}}{J_y}b}}{S}\). (5)

Вычислим отношение \({J_y}/S\):

\(\frac{{{J_y}}}{S} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} \cdot \frac{8}{{b{h^2}}} = \frac{8}{{12}}h \approx 0,667h\). (6)

В различных нормативных и справочных документах (например, [1, 2]) данный геометрический параметр заменяют рабочей высотой сечения \({h_0}\), то есть расстоянием от центра тяжести рабочей арматуры до наиболее сжатого волокна балки:

\(\frac{{{J_y}}}{S} \approx {h_0}\). (7)

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 6. Рабочая высота сечения балки

Разрушение конструкции (первое предельное состояние) наступит в случае, если напряжение \({\tau _{xz}}\) достигнет:

  • расчетного сопротивления бетона сжатию \({R_b}\)
  • расчетного сопротивления бетона растяжению \({R_{bt}}\)

\({\tau _{xz}} = {R_b};\quad {\tau _{xz}} = {R_{bt}}\). (8)

Условие прочности (5) с учетом (7), (8) примет вид:

\(Q \le {R_b}b{h_0};\quad Q \le {R_{bt}}b{h_0}\). (9)

На этих зависимостях основаны проверки прочности, непосредственно входящие в нормы проектирования.

Почему продольной арматуры обычно недостаточно?

Продольную арматуру располагают так, чтобы поперечное сечение каждого арматурного стержня было перпендикулярно оси балки и сопротивлялось изгибающему моменту (рисунок 7):

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 7. Продольная арматура воспринимает изгибающие моменты M

Но проблема заключается в том, что продольная арматура малоэффективна в сопротивлении поперечным силам. Из-за продольной ориентации, стержни рабочей арматуры могут воспринимать поперечные силы только по высоте своего сечения, а это — крайне малый вклад в несущую способность конструкции. Требуется более эффективное решение, и этим решением при проектировании железобетонных конструкций обычно выступает поперечная арматура (рисунок 8).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 8. Поперечная арматура воспринимает поперечные силы Q

Типовые решения поперечной арматуры

Элементами, способными воспринимать поперечные силы в железобетонных конструкциях, являются:

  • хомуты
  • отгибы ненапрягаемой арматуры
  • оттяжки напрягаемой арматуры

Хомут представляет собой, как правило, прямоугольник из арматурной стали малого диаметра (обычно, 8 или 10 мм), который охватывает по периметру рабочую арматуру и повторяет контур сечения балки (рисунок 9). Наиболее распространены балочные конструкции с двумя вертикальными хомутами, расположенными симметрично по обе стороны сечения.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 9. Хомуты в ЖБК

Шаг хомутов может быть принят постоянным по длине балки, но с точки зрения экономии материала более целесообразно “разрядить” установку хомутов от опоры к пролету, в соответствии с эпюрой поперечных сил.

Отгибы стержней в последнее время применяются все реже, хотя это — достаточно эффективный способ восприятия поперечных сил на приопорных участках железобетонных конструкций (рисунок 10).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 10. Отгибы ненапрягаемой арматуры

Отгиб представляет собой изменение геометрии изначально горизонтального стержня арматуры. Таким образом, в сечении появляются дополнительные арматурные “вкрапления”, повышающие общую несущую способность конструкции.

В некоторых конструкциях из предварительно напряженного железобетона горизонтальные пучки арматуры могут также менять геометрию. Данная технология по принципу действия, в целом, аналогична отгибам обычной арматуры (рисунок 11).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 11. Оттяжки напрягаемой арматуры

Расчет наклонных сечений по СНиП

Прежде чем говорить о расчете прочности на поперечную силу в соответствии с нормативными документами, нужно определиться, о каком сечении железобетонного изделия идет речь. Проверку по изгибающему моменту выполняют в нормальном (перпендикулярном оси балки) сечении, а расчет на действие поперечных сил проводят по модели наклонных сечений. Следуя актуализированным версиям норм проектирования ЖБК (например, [1]), необходимо выполнить три основные проверки:

  • проверка прочности бетонного участка между двумя соседними трещинами
  • проверка прочности по наклонной трещине на действие поперечной силы
  • проверка прочности по наклонной трещине на действие изгибающего момента

Проверка прочности полосы между наклонными сечениями

Когда под действием предельных нагрузок в железобетонной балке образуются две соседние наклонные трещины, бетон между ними на определенном участке испытывает сжатие (рисунок 12).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 12. Зона сжатия бетона в момент образования наклонной трещины

В нормах проектирования [1] проверка прочности выглядит следующим образом:

\(Q \le {\varphi _{b1}} \cdot {R_b} \cdot b \cdot {h_0}\), (10)

где

  • \(Q\) — поперечная сила в нормальном сечении элемента, кН;
  • коэффициент \({\varphi _{b1}} = 0,3\).

Расчет наклонного сечения на действие поперечной силы

Проверка прочности наклонного сечения по поперечной силе имеет вид:

\(Q \le {Q_b} + {Q_{sw}}\), (11)

где

  • \(Q\) — максимальная поперечная сила в наклонном сечении, кН (из эпюры);
  • \({Q_b}\) — несущая способность бетона (усилие в бетоне), кН;
  • \({Q_{sw}}\) — несущая способность хомутов (усилие в хомутах), кН.

Усилие в бетоне определяем по формуле:

\({Q_b} = \frac{{{\varphi _{b2}} \cdot {R_{bt}} \cdot b \cdot h_0^2}}{c}\), (12)

где

  • коэффициент \({\varphi _{b2}} = 1,5\);
  • \({R_{bt}}\) — расчетное сопротивление бетона растяжению, МПа;
  • \(b\) — ширина сечения балки, мм;
  • \({h_0}\) — рабочая высота балки, мм;
  • \(c\) — длина проекции наклонного сечения на горизонтальную ось, мм.

При этом необходимо, чтобы усилие в бетоне находилось в пределах

\(0,5{R_{bt}}b{h_0} \le {Q_b} \le 2,5{R_{bt}}b{h_0}\). (13)

Схема распределения усилий в наклонном сечении показана на рисунке 13. Здесь нас интересуют проекции сил на вертикальную ось \(z\).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 13. Усилия в наклонном сечении железобетонной балки с хомутами

В ответ на поперечную силу \(Q\) бетон реагирует усилием \({Q_b}\), а в хомутах возникает распределенное (по горизонтали) усилие \({q_{sw}}\):

\({q_{sw}} = \frac{{{R_{sw}}{A_{sw}}}}{s}\), (14)

где

  • \({{R_{sw}}}\) — расчетное сопротивление арматуры хомутов растяжению, МПа;
  • \({{A_{sw}}}\) — площадь поперечного сечения хомутов, мм2;
  • \(s\) — шаг расстановки хомутов на участке с данным наклонным сечением, мм.

Поскольку у вершины наклонной трещины напряжения могут быть ниже предельных, расчетное сопротивление растяжению для поперечной арматуры рекомендуется снижать на 20% от величины \({{R_s}}\) [2]:

\({R_{sw}} = 0,8{R_s}\). (15)

Площадь \({{A_{sw}}}\) вычисляется по количеству ветвей хомутов, попадающих в нормальное сечение. Обычно армирование балок предполагает два хомута в сечении, но для широких (например, плитных) конструкций могут применяться 4 ветви и более:

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 14. Варианты поперечного армирования и площадь сечения хомутов

Суммарное сосредоточенное усилие в поперечной арматуре определяем через интенсивность усилия во всех хомутах и длину проекции наклонного сечения:

\({Q_{sw}} = {\varphi _{sw}} \cdot {q_{sw}} \cdot c\), (16)

где коэффициент \({\varphi _{sw}} = 0,75\).

В случае, если вместо хомутов (или совместно с хомутами) используются отгибы или оттяжки горизонтальной арматуры, то к правой части неравенства (11) добавляется еще одно слагаемое:

\(Q \le {Q_b} + {Q_{sw}} + {Q_{s,inc}}\), (17)

где \({Q_{s,inc}}\) — общее усилие в отгибах, кН, определяемое как сумма усилий во всех отгибах, пересекающих наклонное сечение:

\({Q_{s,inc}} = \sum {{R_{sw}}{A_{s,inc}}\sin \theta } \), (18)

где

  • \(\theta \) — угол наклона отгиба (оттяжки) к горизонтали; как правило, для отгибов близок к 45°;
  • \({{A_{s,inc}}}\) — площадь поперечного сечения отгибов.

По сути, проектировщик может либо проверить прочность наклонного сечения для запроектированной конструкции с отгибами, либо решить уравнение (17) относительно \({{A_{s,inc}}}\) и подобрать требуемую площадь отгибов для конкретной балки.

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 15. Усилие в отгибе продольной арматуры

Расчет наклонного сечения на действие изгибающего момента

Прочность железобетонной конструкции в наклонном сечении при действии изгибающего момента обеспечена, если выполняется условие

\(M \le {M_s} + {M_{sw}}\), (19)

где

  • \(M\) — изгибающий момент от внешней нагрузки, кНм;
  • \({M_s}\) — момент в продольной арматуре, кНм;
  • \({M_{sw}}\) — момент в поперечной арматуре, кНм.

Данную проверку сопровождают две геометрические схемы. Рисунок 16 иллюстрирует сценарий, когда сжатие испытывает верхняя часть балки. Моментная точка \(O\) при этом располагается в центре сжатой зоны бетона, высота которой определяется так же, как при расчете нормального сечения на действие изгибающего момента (то есть из равенства равнодействующих в сжатом бетоне и растянутой арматуре).

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 16. К расчету наклонного сечения на действие момента (схема 1)

Во второй схеме ситуация меняется на противоположную: сжатие испытывает нижняя часть балки, а растягивающие усилия воспринимает арматура верхней зоны. Принципиального отличия от схемы 1 (рис. 16) здесь нет: моменты собираются относительно точки \(O\):

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 17. К расчету наклонного сечения на действие момента (схема 2)

Моменты несущей способности определяем по следующим формулам:

\({M_s} = {N_s}{z_s};\quad {M_{sw}} = 0,5{Q_{sw}}c\), (20)

где

  • \({N_s}\) — усилие в растянутой арматуре, принимаемое равным \({R_s}{A_s}\), кН;
  • \({z_s}\) — плечо внутренней пары сил, мм;
  • \({Q_{sw}}\) — усилие в хомутах, равное \({q_{sw}}c\), кН.

Как выбирать наклонные сечения

Как Вы уже догадались, нет единственно правильной проверки по наклонным сечениям, в отличие от проверок по сечениям нормальным (например, на действие изгибающего момента). Это происходит вследствие того, что мы заранее не знаем, по какой траектории пойдет развитие наклонной трещины и когда конструкция потеряет несущую способность. Чтобы максимально обезопасить сооружение от такого фатального сценария, следует выполнить ряд проверок для различных наклонных сечений.

Так, согласно нормам проектирования СНиП [1], длина проекции наклонного сечения должна находиться в пределах

\(1,0{h_0} \le c \le 2,0{h_0}\). (21)

Расчет железобетонных конструкций по наклонным сечениям | Dystlab Library

Рисунок 18. К определению геометрии наклонного сечения

Угол наклонного сечения \(\alpha \) при этом не нормируется, так как зависит от горизонтальной проекции сечения \(c\) и высоты балки.

Начало сечения следует выбирать на расстоянии не ближе, чем \({h_0}\) от опоры. В противном случае могут накладываться дополнительные требования норм [1].

Конец наклонного сечения не должен попадать в зону действия максимальных изгибающих моментов. Таким образом, для балки на двух опорах расстояние \(C\) не должно превышать половины пролета.

Наклонные сечения также следует анализировать в местах обрыва продольной арматуры.

Выводы

Проверка прочности наклонного сечения относится к первой группе предельных состояний железобетонной конструкции. Невыполнение данных условий чревато фатальными последствиями и разрушением здания.

Суть расчетов сводится к тому, что усилия от внешней нагрузки не должны превышать соответствующих усилий в элементах конструкции (несущей способности). Важную роль при этом играет поперечная арматура: хомуты, отгибы, оттяжки.

Если какая-либо из проверок прочности не выполняется, следует перепроектировать конструкцию: увеличить сечение бетона или арматуры, изменить шаг хомутов или геометрию отгибов, и т. п.

В этот раз мы говорили преимущественно о расчете, но не упомянули о конструктивных требованиях к поперечной арматуре, анкеровке, отгибам, шагу хомутов и пр. Эти требования следует соблюдать в соответствии с нормами проектирования, актуальными для Вашего проекта.

Как автоматизировать данный расчет

Вы можете автоматизировать проверку прочности железобетонной балки, используя инженерный редактор TechEditor:

Шаблон расчета балки | Dystlab Store

Пример автоматического расчета железобетонной балки в среде ТехЭдитора

Готовый шаблон идет в комплекте поставки программы, однако Вы можете скачать его отдельно из базы шаблонов Dystlab Store. Программа также бесплатна для применения.

Dystlab Store - магазин для инженеров

Купить готовый проект, скачать чертеж, шаблон расчета. Профессиональный технический контент для инженеров. Заказать разработку отчета, статьи, научно-технической документации.

Онлайн-магазин для инженеров Dystlab™ Store.

Viber / WhatsApp / Phone #1:
+38 095 812 2046

Telegram / Phone #2:
+38 068 356 3002

innot needed textfoanother not needed text@dystlabdummy text.store

Предложить товар в магазин

© Copyright 2019 Dystlab™. All rights reserved

Search